Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $V=\{M\in\mathcal S_3(\R)\ /\  \operatorname{rg}M\leqslant 2\}$.
On note $(A|B)=\operatorname{Tr}(A^\top B)$ comme produit scalaire sur $\mathfrak M_3(\R)$ et $\|A\|=\sqrt{(A|A)}$ la norme euclidienne associée.
Pour $A\in\mathfrak M_3(\R)$, on note $d(A,V)=\inf\limits_{M\in V}\|A-M\|$.

1. Soit $(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ deux espaces vectoriels normés et $f:E\to F$ continue.
    Montrer que si $G$ est une partie fermée de $F$, alors $f^{-1}(G)$ est une partie fermée de $E$.
    En déduire que $V$ est une partie fermée de  $\mathfrak M_3(\R)$.

2. Montrer qu'il existe $B\in V$ telle que $d(A,V)=\|A-B\|$.

3. Montrer que $AB-BA$ est symétrique.
   Soit $\theta\in\R$. On note $R_\theta=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$.
  Soit $g:\theta\mapsto \|A-R_\theta BR_\theta^{-1}\|$.
  Montrer que $g$ est dérivable sur $\R$ et calculer $g'(0)$.

  $\blacktriangleright$  Il y avait une autre question.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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