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\begin{document}




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\newcommand{\tdr}{le théorème du rang}
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\newcommand{\tfa}{le théorème fondamental de l'analyse}
\newcommand{\tba}{le théorème des bornes atteintes}
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\newcommand{\tdse}{le théorème de dérivation d'une série entière}
\newcommand{\tpse}{le théorème de primitivation d'une série entière}
\newcommand{\tuse}{le théorème d'unicité du développement en série entière}
\newcommand{\sg}{la somme d'une série géométrique}
\newcommand{\cda}{le critère d'Alembert}
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\newcommand{\spc}{les séries produit de Cauchy}
\newcommand{\tdsi}{le théorème de dérivation sous le signe intégrale}
\newcommand{\tcsi}{le théorème de continuité sous le signe intégrale}
\newcommand{\tlsi}{le théorème de limite sous le signe intégrale}
\newcommand{\bn}{le binôme de Newton}
\newcommand{\sce}{un système complet d'événements}
\newcommand{\caase}{le critère d'Alembert appliqué aux séries entières}
\newcommand{\fpt}{la formule des probabilités totales}
\newcommand{\fpc}{la formule des probabilités composées}
\newcommand{\tvi}{le théorème des valeurs intermédiaires}
\newcommand{\tch}{le théorème de Cayley-Hamilton}
\newcommand{\ts}{le théorème spectral}
\newcommand{\tspr}{le théorème de sommation par paquet pour les familles de réels positifs}
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\newcommand{\fkh}{la formule de Koenig-Huygens}
\newcommand{\ibt}{l'inégalité de Bienaymé-Tchebitchev}
\newcommand{\lc}{le lemme des coalitions}
\newcommand{\fcb}{la formule de changement de base}
\newcommand{\bw}{le théorème de Bolzano-Weierstrass}
\newcommand{\tbi}{le théorème de la base incomplète}
\newcommand{\tdb}{le théorème de la bijection}
\newcommand{\cssa}{le critère spécial des séries alternées}
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\newcommand{\tld}{le théorème limite de la dérivée}
\newcommand{\tlm}{le théorème de la limite monotone}
\newcommand{\tis}{le théorème d'intégration d'une série}
\newcommand{\tcs}{le théorème de continuité d'une série}
\newcommand{\tds}{le théorème de dérivation d'une série}
\newcommand{\tdl}{le théorème de la double limite}
\newcommand{\tcl}{le théorème de continuité de la limite}
\newcommand{\csl}{la caractérisation séquentielle de la limite}
\newcommand{\csf}{la caractérisation séquentielle des fermés}


(Centrale MP 2024 (Math)) Soit $V=\{M\in S_3(\R)/\rg(M)\loq 2\}$.\\
On pose $(A|B)=\tr(A^TB)$ comme produit scalaire sur $M_3(\R)$ et $\n{A}=\sqrt{(A|A)}$ la norme euclidienne associée.

Pour $A\in M_3(\R)$, on note ${\dis d(A,V)=\inf_{M\in V}\n{A-M}}$.
\ben
\item Soient $(E,\n{.})$ et $(F,\n{.})$ deux espaces vectoriels normées et $f:E\to F$ continue.\\
Montrer que si $G$ est une partie fermée de $F$ alors $f^{-1}(G)$ est une partie fermée de $E$.\\
En déduire que $V$ est une partie fermée de $M_3(\R)$.
\item Montrer qu'il existe $B\in V$, $d(A,V)=\n{A-B}$.
\item Montrer que $AB-BA$ est symétrique.\\
Soit $\tht\in\R$. On note $R_{\tht}=\mat{1&0&0\\0&\cos(\tht)&-\sin(\tht)\\0&\sin(\tht)&\cos(\tht)}$.\\
Soit $g:\tht\mapsto \n{A-R_{\tht}BR_{\tht}^{-1}}$.\\
Montrer que $g$ est dérivable sur $\R$ et calculer $g'(0)$.
\een
Il y avait une autre question.






\end{document}








\item (Centrale MP 2024 (math)) 
\ben
\item
\ben
\item Rappeler la définition d'un morphisme de groupe \\
et celle de l'ordre d'un élément dans un groupe.\\
\item On appelle morphisme d'ordre $n$ les morphismes de groupe $\rho:\ca{S}_3\to GL_n(\C)$ (avec $\ca{S}_3$ l'ensemble des permutations de $\{1,2,3\}$).\\
Montrer que $\forall s\in\ca{S}_3$, $\rho(s)$ est diagonalisable.\\
Montrer que $\rho$ est entièrement déterminé par $\rho(1,2)$ et $\rho(1,2,3)$.
\een
\item Déterminer tous les automorphismes d'ordre 1.
\een
Il y avait d'autres questions.

\item (Centrale MP 2024 (math-info)) Pour $M\in \mnk$, on définit \\
${\dis Per(M)=\sum_{\sigma\in\ca{S}_n}\prodi m_{i,\sigma(i)}=\sumi m_{i,j}Per(M_{i,j})=\sumj m_{i,j}Per(M_{i,j})}$.\\
avec $M_{i,j}$ la matrice $M$ à laquelle on a retirer la ligne $i$ et la colonne $j$.
\ben
\item Créer une fonction Per en python pour les matrices de tailles 3.
\item Soit $M=\mat{a&b&.\\c&d&.\\.&.&.}\in M_3(\R)$ bistochastique (coefficients positifs et somme de chaque ligne et de chaque colonne égale à 1).\\
Donner des inégalités vérifiées par $a,b,c$ et $d$ en fonction de $a$.\\
Créer une fonction python qui renvoie une matrice bistochastique aléatoire de $M_3(\R)$.
\item Autre question python
\item Soit $\Omega_n$  l'ensemble des matrices bistochastique de $\mnr$.\\
Quel est le minimum de $Per$ sur $\Omega_2$ ?\\
Donner l'ensemble des matrices qui atteignent ce minimum.
\item Soit $\Omega_3'$ l'ensemble des matrices de $\Omega_3$ qui contiennent deux 0 sur une ligne ou une colonne.\\
Quel est le minimum de $Per$ sur $\Omega_3'$ ?\\
Donner l'ensemble des matrices qui atteignent ce minimum.
\item Montrer que $\Omega_3$ est un compact convexe.\\
Déterminer l'intérieur de $\Omega_3$.
\een
Il y avait d'autres questions (le but était sans doute de montrer que ${\dis \min(Per(\Omega_n))=\frac{n!}{n^n}}$).

\item (Centrale MP 2024 (math-info) Soit $m\in\N$ de longueur $r$.\\
On note $(a_0,\ldots,a_{r-1})\in\br{0,9}^n$ tels que ${\dis m=\sum_{k=0}^{r-1}a_k10^k}$.\\
On note $E_k$ l'ensemble des palindromes $m$ telles que $100^{k-1}\loq m<100^k$.
\ben
\item Donner le quotient et le reste de la division de $m$ par 10.
\item Montrer qu'un palindrome de longueur paire est divisible par 11.
\item
\ben
\item Ecrire une fonction palindrome($m$) qui vérifie si $m$ est un palindrome.
\item Ecrire une fonction pal($n$) qui renvoie le $n$-ième palindrome.
\item Mettre en place une méthode numérique pour déterminer Card($E_k$).\\
La tester pour $k\loq 3$ et conjecturer le résultat général.
\een
\item Démontrer votre conjecture et en déduire une majoration de ${\dis \sum_{m\in E_k}\frac{1}{m}}$
\item ?
\item En notant $E$ l'ensemble de tous les palindromes non nuls, ${\dis \sum_{m\in E}\frac{1}{m}}$ est-elle convergente ?
\een

\item (Centrale MP 2024 (math)) Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires discrètes réelles.\\
On note : $X\in L^p\lra E(|X|^p)$ existe et est finie.\\
On note ${\dis \n{X}_p=(E(|X|^p))^{\frac{1}{p}}}$.
\ben
\item
\ben
\item Soit $p>1$ et ${\dis q=\frac{p}{p-1}}$.\\
Montrer que $\forall (x,y)\in\R^2$, ${\dis xy\loq \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}}$.
\item Si $X\in L^p$ et $Y\in L^q$ montrer que $E(|XY|)$ existe et est finie.
\een
\item
\ben
\item Montrer que ${\dis E(|XY|)\loq \n{X}_p\n{Y}_q}$.
\item Montrer que si $\forall 1<p\loq r$ et $X\in L^r$, alors $\n{X}_p\loq\n{X}_r$.
\een
\een
Il y avait une autre question.

\item (Centrale MP 2024 (math-info)) $\forall u\in\R^n$, on note $U$ la matrice colonne canoniquement associée à $u$\\
et ${\dis H_u=I_n-\frac{2}{U^TU}}UU^T$ si $U\neq 0$ et $H_u=I_n$ si $u=0$.
\ben
\item Montrer que $\forall u\neq 0$, $H_u$ est la matrice de la reflexion par rapport à $\vect(u)^{\bot}$.
\item Montrer que pour toute reflexion $r$ de $\R^n$, il existe un vecteur $u$ telle que $H_u$ soit la matrice canonique de $r$.
\item Créer une fonction python qui renvoie $H_u$.
\item Python donner l'image de $v=(1,2,3)$ par rapport au plan d'équation $x+y+z=0$.
\een
Il y avait trois autres questions.

\item (Centrale MP 2024 (math-info)) On pourra utiliser la fiche d'aide pour les matrices que l'on peut trouver à l'adresse : https://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/SujetsOral/MP.\\
Soit $A\in M_p(\C)$.
\ben
\item Montrer que ${\dis \exp(A)=\sumn\frac{A^n}{n!}}$ est bien définie.
\item Dans cette question, $A=\mad{0&-t\\t&0}$.
\ben
\item Programmer une fonction python qui renvoie $\exp(A)$.\\
Conjecturer la valeur des coefficients.
\item Le démontrer.
\een
\item On suppose $A$ diagonalisable dans cette question.
\ben
\item Donner une méthode pour calculer $\exp(A)$.
\item montrer l'existence de $Q\in\C[X]$ tel que $\exp(A)=Q(A)$.
\item Explicitez ce polynôme $Q$
\item retrouver le résultat de la question (b)ii.
\een
\een
Il y avait encore une question avec trois sous-questions.

\item (Centrale MP 2024 (math))
\ben
\item Soit $f:\R^n\to\R$ différentiable.\\
On suppose que $f$ admet un extremum local en $a$. Que peut-on dire de $\nabla f(a)$ ?\\
Le démontrer.
\item
\ben
\item Soit $A_0$ et $A_1$ deux points sur le cercle unité $C(O,1)$ de $\R^2$ tels que $\widehat{A_0OA_1}=\theta$ avec $\theta\in]0,\pi[$.\\
Soit $D_0=B_f(O,1)$ et $D_1$ le disque de diamêtre $[A_0A_1]$.\\
Exprimer l'aire $g(\theta)$ de $D_1\sm D_0$.
\item Soit $A_2$ un autre point sur le cercle unité tel que $\widehat{A_1OA_2}=\theta'$ avec $\theta'\in]0,\pi[$ et $\tht+\tht'>\pi$.\\
Soient $D_2$ le disque de diamêtre $[A_1A_2]$ et $D_3$ le disque de diamêtre $[A_2A_0]$.\\
Calculer l'aire $h(\tht,\tht')$ de $(D_1\cup D_2\cup D_3)\sm D_0$.\\
Quelle est l'aire maximale possible ?
\een
\een

\item (Centrale MP 2024 (math-info avec la fiche d'aide matrices)) Soient $H_n=\{A\in\mnr/\forall(i,j)\in\br{1,n},\; A_{i,j}\in\{-1,1\}\}$,\\
$\widehat{H_n}=\{A\in\mnr/\forall(i,j)\in\br{1,n},\; A_{i,j}\in[-1,1]\}$, ${\dis \mu_n=\max_{A\in H_n}(\det(A))}$ et ${\dis \widehat{\mu_n}=\max_{A\in \widehat{H_n}}(\det(A))}$.
\ben
\item Montrer l'existence de $\mu_n$ et $\widehat{\mu_n}$.
\item Ecrire une fonction python {\bf detalea}$(n)$ qui renvoie le maximum des déterminants de 100000 matrices choisies au hasard dans $H_n$.\\
De même pour $\widehat{H_n}$.\\
Comparer $\mu_n$ et $\widehat{\mu_n}$.
\item
\ben
\item Ecrire une fonction {\bf detmax}$(n)$ qui renvoie $\mu_n$ et l'ensemble des matrices qui l'atteignent.
\item Pour $n\in\br{1,4}$, que renvoie {\bf detmax} ?
\een
\item Soit $A\in H_n$ avec $A$ inversible, on pose $B=A^TA$.
\ben
\item Prouver que $B$ est diagonalisable et que $\Sp(B)\in\R_+^*$.
\item Prouver que ${\dis \det(B)\loq\left(\frac{\tr(B)}{n}\right)^n}$.\\
Montrer que ${\dis \mu_n\loq n^{\frac{n}{2}}}$.
\een
\item Soit $A\in H_n$. Montrer que ${\dis |\det(A)|=n^{\frac{n}{2}}\lra \frac{1}{\sqrt{n}}A}$ orthogonale.
\een

\item (Centrale MP 2024 (math)) $E=\{ f\in\cc(\R,\C)/f$ 1-périodique$\}$.\\
Pour $f\in E$, on note : $\hat{f}(n)=\int_0^1f(x)e^{-i2\pi nx}dx$.\\
Soit $U$ un ouvert de $\C$, $\gamma : [a,b]\to U$ de classe $\cc^1$ et telle que $\gamma(a)=\gamma(b)$.\\
Si $a=a_0<a_1<\ldots<a_n=b$, on note $\gamma_k=\gamma_{|[a_k,a_{k+1}]}$.\\
Pour $g\in\cc(\C,\C)$, on pose ${\dis\int_{\gamma}g=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{a_k}^{a_{k+1}}g(\gamma_k(t))\gamma_k'(t)dt}$.
\ben
\item
\ben
\item Rappeler le théorème de dérivation d'une série.\\
Rappeler la définition du rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ \\
et son lien avec le rayon de convergence de $\sum na_nx^n$.
\item Si $f\in E$ est de classe $\cc^k$, montrer que ${\dis \hat{f}(n)=\oy{\frac{1}{n^k}}}$.
\een
\item Soit $f:\C\to\C$ développable en série entière sur $D_o(0,R)$ et $\gamma:[a,b]\to D_o(0,R)$ de classe $\cc^1$.\\
Montrer que $\int_{\gamma}f=0$.
\een

\item (Centrale MP 2024 (math-info avec les fiches d'aide matrice et analyse numérique)) Soit $U=(1)_{i,j}\in\mnr$.\\
Pour $(A,B)\in\mnr^2$, on note $A*B=(a_{i,j}b_{i,j})_{i,j}$.\\
On note $A^{*,0}=U$ et, par récurrence, $A^{*,k+1}=A*A^{*,k}$.\\
Pour $A\in S_n(\R)$, on dit que $A$ est positive ssi $\forall X\in M_{n,1}(\R)$, $X^TAX\goq 0$.
\ben
\item Montrer que $\forall A\in S_n(\R)$, $A$ positive ssi $\Sp(A)\subset\R_+$.
\item Soit $G=(\int_0^1t^{i+j-1}\sqrt{1-t^2}dt)_{i,j}\in\mnr$ et ${\dis H=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{i,j}\in\mnr}$. Avec Python :
\ben
\item Montrer que $G$ et $H$ sont symétrique positives pour $n\in\{1,2,3,4\}$.
\item Montrer que pour $n=3$, $\forall (p,q,r)\in\br{0,2}^3$, $U^{*,p}*G^{*,q}*H^{*,r}$ est symétrique positive.
\een
\item Montrer (sans Python) que $G$ et $H$ sont symétriques positives.
\item Soit $A\in\mnr$ symétrique positive et $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\R^n$.\\
Soit $B=(\alpha_ia_{i,j}\alpha_j)_{i,j}$. Montrer que $B$ est symétrique positive.
\een
Il y avait d'autres questions.

\item (Mines-Ponts MP 2024)
\ben
\item On munit $\mnr$ de la norme ${\dis \ny{A}=\max_{(i,j)\in\br{1,n}^2}|a_{i,j}|}$.
\ben
\item Montrer que ${\dis \sqrt[n]{|\det(A)|}\loq \sqrt[n]{n!}\ny{A}}$.
\item Soit $e$ une \bon\, d'un espace vectoriel euclidien $E$ et $\n{.}$ la norme euclidienne sur $E$.\\
Soient $(x_1,\ldots,x_n)\in E^n$. Montrer que $|\det_e(x_1,\ldots,x_n)|$ est indépendant de la \bon\, $e$ choisie.
\item Montrer que $ |\det_e(x_1,\ldots,x_n)|\loq {\dis\prodi\n{x_i}}$.
\item En déduire que ${\dis \sqrt[n]{|\det(A)|}\loq \sqrt{n}\ny{A}}$.
\item La majoration obtenue à la question (d) est-elle meilleure que celle obtenue à la question (a) ?
\een
\item Etudier les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $(u_1,v_1)\in\R^2$ et 
\[ \seq{u_{n+1}=u_n+\arctan\left(\frac{2}{n^2}\right)v_n\\v_{n+1}=v_n-\arctan\left(\frac{2}{n^2}\right)u_n} \]
\een

\item (Mines-Ponts MP 2024)
\ben
\item Soient $(A,B)\in\mnc^2$ et $\phi_{A,B}\in\ca{L}(\mnc)$ tel que\\
$\forall M \in\mnc$, $\phi_{A,B}(M)=AMB$.
\ben
\item Montrer que si $A$ et $B$ sont diagonalisables alors $\phi_{A,B}$ l'est aussi.
\item On suppose $\phi_{A,B}$ diagonalisable et non nulle.
\ben
\item Montrer que $B^T$ admet une valeur propre $\lb$ non nulle.
\item On pose $Y$ un vecteur propre de $B^T$ associé à $\lb$.\\
A l'aide, $f\in\ca{L}(M_{n,1}(\C),\mnc)$ telle que $f(X)=XY^T$, montrer que $A$ est diagonalisable.
\item Montrer que $B$ est diagonalisable.
\een
\een
\item Soit $f:\R_+\to\R$ décroissante telle que ${\dis \lim_{x\to+\infty}f(x)=0}$.
\ben
\item Montrer que $\forall x>0$, ${\dis \sum(-1)^nf(nx)}$ converge.
\item On suppose que $f$ est continue en $0$ et convexe.\\
Déterminer ${\dis\lim_{x\to 0^+} \sumn(-1)^nf(nx)}$.
\een
\een




\een
\end{document}