Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1:
Soit $\mathrm{I}=\int_0^{+\infty} \frac{\operatorname{tarctan}(t)}{\left(1+t^2\right)^2} d t$

1. Montrer que $I$ est convergente.

Soit $F :x \rightarrow \int_{1 / x}^x \frac{t\operatorname{arctan}(t)}{\left(1+t^2\right)^2} d t$

2. Calculer F'(x).
3. En déduire $F(x)$, puis $I$.

Exercice 2 :
Soit $\mathrm{A} \in \mathcal{M}_n(\R)$ diagonalisable. Montrer que $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}A & A \\ A & A\end{array}\right)$ est également diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour l'exercice 2, l'examinateur m'a expliqué que calculer le polynome caractéristique de B n'était pas une bonne idée et qu'il fallait plutôt calculer les puissances de B ou diagonaliser la matrice (1 1)(1 1). 

Commentaires divers

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