Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1:

On note $E=\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et on considère $A,B$ deux éléments de $E$ non colinéaires. On note $M=AB^T+BA^T$. 

Q1. Justifier que $M$ est diagonalisable. 

Q2. Déterminer le rang de $M$. On pourra pour cela déterminer la première colonne de $M$.

Q3. Déterminer le spectre de $M$ et les sous espaces propres associés. 

Exercice 2:

On considère $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{t^{-x}}{(t+1)}dt$

Q1. Donner le domaine de définition de $f$. 

Q2. Étudier la continuité et la monotonie de $f$.

Q3.Montrer que pour tout $x \in D_f$, $f(x)+f(x+1)=1/x$.

Q4.Déterminer un équivalent de $f$ en $0^{+}$. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Il n'est pas nécessaire d'employer le théorème de dérivation sous le signe intégral pour déterminer la mononotonie de $f$.

Commentaires divers

L'examinateur posait des questions annexes pour vérifier la bonne connaissance du cours : définition de l'intégrabilité, le lien entre absolue convergence et convergence, des contres-exemples pour montrer que la réciproque est fausse etc.

• oraux_mines_telecom_mp.pdf