Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

On étudie les matrices $A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\R)$ vérifiant la relation $(1)$ :

$$\chi_A(X)=\prod_{k=1}^n (X-a_{kk})$$

c'est-à-dire les matrices dont les valeurs propres sont exactement les coefficients diagonaux de la matrice.

1. On pose $M_1=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$ et $M_2=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}$. Ces deux matrices vérifient-elles la condition $(1)$ ?
2. Soit $(u,v)\in\R^2$. On pose $M_{u,v}=\begin{pmatrix} u&v&v\\ v&u&v\\ v&v&u \end{pmatrix}$.
   Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M_{u,v}$ vérifie la condition $(1)$.
3. Quelles sont les matrices de $\mathcal M_2(\R)$ qui vérifient $(1)$ ?

$\ex 2$

Pour tout $x>0$, on pose $\quad \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac 1{n!(n+x)} $.

1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$.
2. Déterminer $(a,b)\in\R^2$ vérifiant $\quad \displaystyle f(x)\underset{x\to +\infty}= \frac ax +\frac b{x^2} +o\left( \frac 1{x^2}\right)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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