Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex1$    Exercice n° 37 de la Banque CCINP

$\ex 2 $

Soit $a \in\R^ ∗$ , $u$ un vecteur unitaire de $\R^3$ et $\langle\cdot,\cdot\rangle$ un produit scalaire sur $\R^3$ . On considère l’application définie sur $\R^3$ par :

                         $\forall x\in\R^3,\ f_a(x) = x + a \langle x, u \rangle u$.

1. Montrer que $f_a$ est un endomorphisme de $\R^3$.

2. Montrer qu’il existe un unique réel $a'\neq 0$ tel que : $\|f_{a '}(x)\| = \|x\|$ pour tout $x\in\R^3$. Donner alors la nature de $f_{a'}$ (on pourra s’intéresser  à  $f_{a'}^2)$.

3. Montrer que $f_a$ est un endomorphisme autoadjoint et déterminer ses éléments propres.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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