Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$    (Analyse)

On définit : $\quad \displaystyle \forall n \in \mathbb{N^*}, \forall x\in \mathbb{R^*_+}, \quad f_n(x) = \frac{\ln(1+\frac{x}{n})}{x(1+x^2)} $.

1. Montrer que $f_n$ est intégrable sur $]0, +\infty[$.

2. Calculer  $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^{+\infty} f_n(x)\, \textrm{d}x$.

3. Calculer  $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n\int_0^{+\infty} f_n(x)\, \textrm{d}x$.

$\ex 2$   (Algèbre)

On munit $\mathscr{M}_2(\mathbb{R})$ du produit scalaire : $\displaystyle (A|B) = \operatorname{tr}(A^\top B)$.

On pose $\displaystyle V = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\
                -b & a \end{pmatrix}~\Big|~\  (a,b)\in \mathbb{R}^2\right\} $.

1. Montrer que $V$ est un espace vectoriel.
2. Déterminer une base orthonormée de $V^T$.
3. Déterminer la projection orthogonale de $J = \begin{pmatrix}
        1 & 1\\
        1 & 1
    \end{pmatrix}$ sur $V^\top$.

$\ex 3$   (bonus :  Algèbre)

Résoudre l'équation $x^2 + x + 1 =  0$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

indication exercice 3 : se rappeler de la démonstration des solutions sur $\mathbb{R}$.

Commentaires divers

• IMT Mathématiques 2025.pdf