Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1. Soit $a,b\in\R$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice $\begin{pmatrix}
0 & a \\
b & 0 \\
\end{pmatrix}$ soit diagonalisable.
2. a) Soit $\alpha_1,\ldots,\alpha_{2p}$ des réels, où $p\in\N^*$. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{2p}(\R)$ telle que $a_{2p+1-i,i}=\alpha_i$ pour $1\leqslant i\leqslant 2p$, les autres coefficients étant nuls.
        Soit $f$ l’endomorphisme canoniquement associé  à $A$. Écrire la matrice $A$.
    b) Soit $E_i = \operatorname{Vect}(e_{2p+1−i} , e_i)$ pour $1\leqslant i\leqslant p$ où $(e_1, \ldots,e_{2p})$ est la base canonique de $\R^{2p}$ .
        Montrer que $E_i$ est stable par $f$.
   c) Montrer que $f$ est diagonalisable si, et seulement si, pour tout $i\in[\![1,p]\!]$, la restriction de $f$ à $E_i$ est diagonalisable. 
   d)  En déduire une CNS pour que $f$ soit diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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