Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Exercice 26 de la banque 2025.

$\ex 2$

Soient $u$, $v$ et $w$ trois réels non nuls. Soit $M=-\dfrac 23 \begin{pmatrix}-1/2&v/u&w/u\\ u/v&-1/2&w/v\\ u/w&v/w&-1/2 \end{pmatrix}$.

1. Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et donner une base du sous-espace propre associé (on ne demande pas de déterminer le polynôme caractéristique).
2. En déduire que $M$ est diagonalisable ; montrer sans calculs que $M^2=I_3$.
   Montrer que $M\in\mathcal O_3(\R)$ si et seulement si $|u|=|v|=|w|$.
3. Soit $P= \begin{pmatrix} vw&w&v\\ uw &0 &-u\\ uv&-u&0 \end{pmatrix}$. Calculer $P^{-1}$.

Confer fichier ci-joint

J'ai également tapé une correction de l'exercice ne provenant pas de la banque.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

2ème question : procéder par équivalence.

3ème question : Quelles sont les différentes manières de calculer l'inverse d'une matrice ?

• CCINP 2025 - Mathématiques MP - avec correction.pdf