Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2021

Filière : PC

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Séries entières

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Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1\vphantom{\displaystyle\int}$
On rappelle qu'une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ est dite nilpotente lorsqu'il existe un entier $p\in\mathbb N^*$ tel que $M^p=0$.

Soient $A$ et $B$ nilpotentes dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$. $A+B$ est-elle forcément nilpotente ?
(On a demandé de prouver que c'était le cas si $A$ et $B$ commutent, et de donner un contre-exemple dans le cas contraire).
Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ deux matrices nilpotentes telles que $A+B$ est nilpotente. Montrer que $\operatorname{Tr}(AB)=0$.

$\ex 2$

Donner le domaine de définition de la fonction $f$ : $\displaystyle x\longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2-5n+1}{n!}\, x^n$, et, lorsque $x$ appartient à ce domaine, calculer $f(x)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers

Fichiers joints

Epreuve Orale 6244

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