Epreuve Orale 6244

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2021
Filière : 
PC
Concours : 
Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Algèbre linéaire, Séries entières
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
On rappelle qu'une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ est dite nilpotente lorsqu'il existe un entier $p\in\mathbb N^*$ tel que $M^p=0$.
  1. Soient $A$ et $B$ nilpotentes dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$. $A+B$ est-elle forcément nilpotente ?
    (On a demandé de prouver que c'était le cas si $A$ et $B$ commutent, et de donner un contre-exemple dans le cas contraire).
  2. Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ deux matrices nilpotentes telles que $A+B$ est nilpotente. Montrer que $\operatorname{Tr}(AB)=0$.
Exercice 2
Donner le domaine de définition de la fonction $f$ : $\displaystyle x\longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2-5n+1}{n!}\, x^n$, et, lorsque $x$ appartient à ce domaine, calculer $f(x)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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