Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $(g_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par
\[g_0=1\ \text{ et }\ \forall n\in \mathbb N^*,\ ng_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{g_k}{n-k}\]
On pourra utiliser $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln(n)+O(1)$.
1. Afficher sur un graphe les $g_n$ et $n^2g_n$ pour $0\leq n\leq 200$.
2. Montrer que $(g_n)$ est bornée. En déduire que le rayon de convergence de $\sum g_nx^n$ est supérieur ou égal à $1$.
3.  On pose
\[\forall x\in ]-1,1[,\ G(x)=\sum_{n=0}^\infty g_nx^n\ \text{ et }\ f(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x}\]
$f$ étant prolongée par continuité en $0$. Montrer que
\[\forall x\in ]-1,1[,\ G'(x)=f(x)G(x)\]
4. Montrer que $g_n=O\left (\frac{\ln(n)}{n}\right )$.
5. Montrer que $g_n=O\left (\left (\frac{\ln(n)}{n}\right )^2\right )$.
6. Montrer que $\sum (g_n)_{n\geq 0}$ converge et exprimer sa somme en fonction de $\zeta(2)=\pi^2/6$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

1. Préférer une programmation itérative à une programmation récursive pour réduire la complexité

5. Utiliser Q4

Commentaires divers
À cause de la première question, il devait y avoir une dernière question : montrer que $(n^2g_n)_n$ converge vers $S=\sum_{n=0}^{+\infty} g_n$, ce qui est effectivement le cas. 

db@blaise_pascal