Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
I- Un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$ est dit "uniformément convexe" si et seulement si
$\forall \epsilon >0, \; \exists \delta >0, \; \forall (x,y) \in E^2, \; (||x || \leq 1, \; ||y || \leq 1 \mbox{ et } ||x-y || \geq \epsilon \; \Longrightarrow \; || (x+y)/2|| \leq 1 - \delta)$.
Etudier si $\mathbb{R}^{2}$ pour les 3 normes usuelles $||.||_1$, $||.||_2$ et $||.||_{\infty}$ est uniformément convexe.

II- Soit $A = \pmatrix{1&2\cr 2&3\cr}$ et $B = \: \pmatrix{A&A \cr A&A\cr}$.
Diagonaliser $A$. Diagonaliser ensuite $B$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.