Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\K$ ($\R$ ou $\C$). 
 
* Soit $p\in\mathcal{L}(E)$ un projecteur. Montrer que $\ker(p)\oplus  \textrm{im}(p) =E$ par le lemme des noyaux.
* Pour un endomorphisme $u$ a-t-on $\ker(u) \oplus \textrm{im}(u) =E\Rightarrow u$ est un projecteur? 
* Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $p\in\mathcal{L}(E)$ un projecteur. On considère les deux assertions suivantes: 

$$(1) u\circ p = p \circ u \quad (2) \ker(p) \text{ et } \textrm{im}(p) \text{ sont stables par } u$$
Montrer que $(2)$ implique $(1)$
* Montrer que $tr(p) = rg(p)$. 
\end{enumerate}

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers