Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$.
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $X(\Omega) = Y(\Omega) = \mathbb{N}$. 
Notons, $\forall n \in \mathbb{N}$ :$~~\mathbb{P}(X=n) = p_n, \quad \mathbb{P}(Y=n) = q_n. $

On définit $
\displaystyle d(X,Y) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} |p_n - q_n|.
$
 
* Montrer que, pour toute partie $A \subset \mathbb{N}$,

$\displaystyle
\left|\mathbb{P}(X \in A) - \mathbb{P}(Y \in A)\right|
\le \sum_{n \in A} |p_n - q_n|$ et $\displaystyle
\left|\mathbb{P}(X \in A) - \mathbb{P}(Y \in A)\right|
\le \sum_{n \in \overline{A}} |p_n - q_n|.
$

* En déduire que
$\displaystyle
\left|\mathbb{P}(X \in A) - \mathbb{P}(Y \in A)\right|
\le d(X,Y).$

* Montrer que
$\displaystyle
d(X,Y) = 1 - \sum_{n=0}^{+\infty} \min(p_n,q_n).
$

* En déduire que
$\displaystyle
d(X,Y)
= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}(p_n+q_n)
- \sum_{n=0}^{+\infty} \min(p_n,q_n).
$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers