Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

 Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par :
$ f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy $
Étudier les extremums locaux de $f$.
 

Exercice 2

 Soit $E$ un espace euclidien et $f$ une isométrie vectorielle de $E$.  

* Montrer que $\ker(g) = (\text{Im}(g))^\perp$.
 *Soit $x \in E$.
   
        **Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f^n(x) - x \in \text{Im}(g)$.
        **Calculer la limite quand $n \to +\infty$ de :
                        $\dfrac{1}{n} \left( x + f(x) + \dots + f^{n-1}(x) \right) $
 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers