Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

 Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$ de carré intégrable sur $\R^+$. On définit la fonction $g$ sur  $\R^{+*}$ par : 

$g(x) =\displaystyle\frac 1 x\int_0^x f(t) d t$

* Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0. Justifier que $g$ est $C^1$ sur $\R^{+*}$. 
* Calculer $g'(x)$ en fonction de $g(x)$ et $f(x)$pour $x>0$. 
* Montrer que pours tous réels $0<a<b$, on a: 

$\displaystyle \int_a^b g^2(t) d t = 2 \int_a^b f(t)g(t) d t +ag^2(a)-bg^2(b)$
\item ???  Montrer que $\displaystyle\sqrt{\int_a^bg^2(t) d t}= \sqrt{2\int_a^bf^2(t) d t }\times\sqrt{a^2g^2(a)}???$

\item ??? En déduire que $g$ est de carré intégrable sur $]0,+\infty[$ (et déterminer la valeur de $\displaystyle\int_0^{+ \infty}g^2(t) d t$?)

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Souvenirs imprécis des deux dernières questions, que je n'ai pas réussi à rectifier.