Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On pose :  $\forall n\in\N^*,\,\forall x\in \R,\ f_n(x) = nx^3+n^2x-2$.

1. Montrer que: $\forall n\in\N^*, \exists !\,a_n>0 : f_n(a_n)=0$.

2. Étudier la suite $(a_n)_{n\in\N^*}$ et calculer sa limite.

3. La série $\sum a_n$ converge-t-elle ? 
4. Étudier la série  $\displaystyle\sum n^{\alpha} \left(a_n-\frac{2}{n^2}\right)$ pour $\alpha\in\R$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers