Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2026

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Matrice - Projecteurs

Énoncé(s) donné(s)

Dans $E_1= \mathfrak M_2(\R)$, on pose $F= \textrm{vect}(E_{11}, E_{12}, E_{21})$, et $G= \textrm{vect}(I_2)$.

1. Donner la matrice de la projection sur $G$ parallèlement à $F$ dans la base canonique.

2. Dans toute la suite, on se place dans $E= \mathfrak M_n(\R)$ ($n\geqslant 2 )$.

On suppose que $F$ est un hyperplan stable par multiplication.

On souhaite montrer par l'absurde que $I_n\in F$.

On suppose que $I_n\notin F$, et on note $p$ la projection sur $\textrm{vect}(I_n)$ parallèlement à $F$.

a) Montrer que : $\forall M,M'\in E,\ p(M).p(M') =p(MM')$.

b) En déduire que : $\forall M\in E, (M^2\in F\Rightarrow M\in F)$.

c) Établir que $F$ contient la base canonique de $E$.

d) Conclure.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Epreuve Orale 9479