Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Dans $E_1= M_2(\R)$, on pose $F= vect(E_{11}, E_{12}, E_{21})$, et $G=  \textrm{vect}(I_2)$.

 

* Donner la matrice de la projection sur $G$ parallèlement à $F$ dans la base canonique.

* Dans toute la suite, on se place dans  $E= M_n(\R)$ ( $n\geq 2 )$, et on suppose que $F$ est un hyperplan stable par multiplication. On souhaite montrer que $I_n\in F$ par l'absurde. On suppose que $I_n\notin F$, et on note $p$ la projection sur $\textrm{vect}(I_n)$ parallèlement à $F$.

 

** Montrer que : $\forall M,M'\in E, ~~p(M)P(M') =p(MM')$.

** En déduire que : $\forall M\in E, M^2\in F\Rightarrow M\in F$/

** Etablir que $F$ contient la base canonique de $E$.

** Conclure.