Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On considère l'endomorphisme $f$ de $E$ déterminé par
\[
\forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad f(e_k) = e_k + \sum_{i=1}^{n} e_i.
\]

1) Donner la matrice de $f$ dans $e$.
2) Déterminer les sous-espaces propres de $f$.
3) L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
4) Calculer le déterminant de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il inversible ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Quelles sont les caractérisations de la diagonalisabilité pour une matrice ?

Commentaires divers