Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. Montrer que :

1) l'endomorphisme $p \circ q \circ p$ est autoadjoint positif ;
2) $E = \operatorname{Im} p + \operatorname{Ker} q + (\operatorname{Im} q \cap \operatorname{Ker} p)$ ;
3) l'endomorphisme $p \circ q$ est diagonalisable ;
4) le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pourriez-vous rappeler les définitions pour la première question ? Rappelez les différentes caractérisations de la diagonalisabilité.

Commentaires divers