Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On cherche à donner des expressions des solutions de l'équation différentielle $y''  = xy$.

1) Rappeler la structure de l'ensemble des solutions de cette équation.
2) Déterminer les solutions développables en séries entières de cette équation. On pourra notamment justifier, si $a_n$ désigne le terme général cette série entière que $a_2 = 0$ et que pour tout entier naturel $n$ non nul : $a_{n+2} = a_{n-1}/\big((n+1)(n+2)\big)$.
3) Existe-t-il des solutions bornées à cette équation ?
4) Montrer que
$$ x \mapsto \displaystyle \int_0^{+\infty} \cos\!\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)$$
est une solution de l'équation différentielle. On donnera notamment le domaine de définition de cette fonction.
5) Donner une expression intégrale de l'ensemble des soutions de l'équation différentielle.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pourriez-vous préciser sur quel intervalle vous étudiez l'équation ? Admettez la relation de récurrence des coefficients. Quelle est le rayon de convergence de la série entière obtenue ?

Commentaires divers