Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) 
a) Définition du rayon de convergence. 
b) Soit $r \in \mathbb{N}^*$. Calculer le rayon de convergence de $\sum \frac{k^r}{k!} x^k$.

2) On note $\alpha_N$ le nombre de partitions de $\{1, \dots, N\}$. On choisit $\alpha_0 = 1$. 
a) Calculer $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$. 
b) Montrer que $\alpha_{N+1} = \sum_{k=0}^N \binom{N}{k} \alpha_k$. 
c) Montrer que la série entière $\sum \frac{\alpha_N}{N!} x^N$ a un rayon de convergence non nul.

3) On pose $f(x) = \sum_{N=0}^{+\infty} \frac{\alpha_N}{N!} x^N$. 
Dériver $f$ pour montrer qu'elle vérifie  une équation différentielle, puis en déduire l'expression explicite de $f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers