Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

 Exercice 1 :
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. 
Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)}$ converge et calculer sa valeur.

 Exercice 2 :

Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie. On considère les trois endormorphismes suivant de $\mathcal{L}(E)$ : 

 $G : v \longmapsto u \circ v$, $D : v \longmapsto v \circ u$ et $T : v \longmapsto u \circ v - v \circ u$.

1) Montrer que $G$ et $D$ commutent.
2)Calculer la valeur de $T^n$.
3) On suppose que $u$ n'est pas un automorphisme. Montrer que $u$ est nilpotent si et seulement si $T$ l'est.
4)  Question oubliée. Peut-être : montrer que si $u$ est diagonalisable, alors $T$ l'est aussi.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers