Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

 Exercice 1

Exercice 33 de la banque CCINP

 Exercice 2
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$.

1)Montrer : $\forall k\in\N,\;\ker u^k\subset\ker u^{k+1}$.
2) Montrer qu'il existe un $k \in [\![ 1, n ]\!]$ tel que :
    \[
    \ker u^k = \ker u^{k+1}
    \]
3) Montrer que pour tout naturel $p$, $\ker u^k = \ker u^{k+p}$. 
 (Indication : montrer que $\ker u^{k+1} = \ker u^{k+2}$)
4) Montrer que les questions 2 et 3 ne sont pas forcément vraies en dimension infinie.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers