Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

ENS Saclay-Rennes

Soit $K = \{ x \in \mathbb{R}^d,\ c(x) \leq 0 \}$.

 
 On suppose que :
\[
  \forall x \in \mathbb{R}^d,\quad c(x) = 0 \;\Rightarrow\; \nabla c(x) \neq 0\;\;\;(1).
\]

 
On pose :
\[
  P = \min_{x \in K} J(x), \qquad
  P_\varepsilon = \min_{x \in \mathbb{R}^d} J_\varepsilon(x),
\]
où
\[
  J_\varepsilon(x) = J(x) + \frac{1}{\varepsilon}\,\max\!\bigl(c(x),\, 0\bigr)^2.
\]

 
 
1) Dans le cas où $c(x) = \|x\|^2 - 1$, montrer que l'hypothèse (1)        est vérifiée.

2) Prouver l'existence et l'unicité de $x^*$     (respectivement $x_\varepsilon^*$) tel que $J(x^*) = P$        (respectivement $J_\varepsilon(x_\varepsilon^*) = P_\varepsilon$).

3) Trouver une équation sur les $x_\varepsilon^*$. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers