Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice avec préparation (et Python) : 

On considère la suite de terme général $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}$.

1. Avec Python, calculer $u_{100}$, $u_{1000}$ et $u_{10000}$.

2. La série $\ds\sum \dfrac{1}{\sqrt{k}}$ converge-t-elle ?

3. A l'aide du théorème de comparasion intégrale-série, déterminer un équivalent simple de $u_n$.

On pourra commencer par encadrer $\ds\int_k^{k+1} \dfrac{1}{\sqrt{t}} \, dt$

4. Pour tout $n \in \mathbb{N}^\star$, on note $x_n = u_n - 2 \sqrt{n}$ et $y_n = u_n - 2 \sqrt{n+1}$.

Démontrer que les suites $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ sont adjacentes.

5. Justifier qu'il existe un réel $\alpha$ tel que $u_n = 2 \sqrt{n} + \alpha + o(1)$.

6. a.  Déterminer le plus petit entier $N$ tel que $x_N - y_N \leqslant 10^{-3}$.

6. b. En déduire une valeur approchée de $\alpha$.

Exercice sans préparation :

Soient $X_1$, $X_2$, ..., $X_n$, $n$ variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre $1$, $\dfrac{1}{2}$, ..., $\dfrac{1}{n}$ : $X_k \hookrightarrow \mathcal{B}\left(\dfrac{1}{k}\right)$.

On considère alors la variable aléatoire $X$ définie par : $X = 0$ si $X_1 = X_2 = ... = X_n = 1$, $X = \min\{k \,;\, X_k = 0\}$ sinon.

Déterminer la loi de $X$ et calculer son espérance.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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