Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) a) Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégral.

b) Montrer que la fonction $\displaystyle\Gamma : x \to \int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R_+}^*$.

2) Montrer que $\Gamma$ est logarihmiquement convexe.

3) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in ]0,1]$ :
\[
n^x \le \frac{\Gamma(n+x)}{\Gamma(n)} \le n^x \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x
\]

4)

5)

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers