Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1. Soit $M \in M_n(\mathbb{Z})$ que l'on suppose diagonalisable sur $\mathbb{C}$ et dont toutes les valeurs propres sont de module strictement inférieur à 1. Montrer que $ M = 0$.

2. Soit $ p \ge 3$ un entier premier et considérons le morphisme de réduction modulo p $\pi_p$ de $GL_n(\mathbb{Z})$ dans $GL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ qui à $A$ associe $A$ mod $p$.

Montrer que si $ A \in Ker(\pi_p)$ est d'ordre fini, alors $A = I_n$. 

3. En déduire que si $G \subset GL_n(\mathbb{Z})$ est un sous groupe fini, alors $|G| \le 3^{n^2}$. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Oral du magistère de mathématiques de Rennes.