Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exerice 1 

Soit $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que $f'$ soit uniformément continue.

Montrer que si $f$ possède une limite finie en $+\infty$, alors $f'$ aussi.

Exercice 2

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}} \in (\mathbb{R}_+^*)^{\mathbb{N}}$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^nu_k$.

1. Montrer que si la série de terme général $u_n$ diverge, alors, pour $\alpha > 0$, la série de terme général $\dfrac{u_n}{S_n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
2. On suppose dornéavant que la série de terme général $u_n$ converge et pose pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\displaystyle R_n=\sum_{k=n}^{+\infty}u_k$.

Montrer que, pour $\alpha > 0$, la série de terme général $\dfrac{u_n}{R_n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha < 1$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Oral du magistère de mathématiques de Rennes