Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Exercice 43 de la banque CCINP.

Exercice 2

1) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.
   a) Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ annulant $A^2$ tel que $P(0) \ne 0$. Soient $\{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ les racines de $P$. Soit $Q \in \mathbb{C}[X]$ tel que $Q(X) = P(X^2)$.
      Que peut-on dire sur $Q$ ? Décomposer $Q$ en facteurs irréductibles.
   b) Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A^2$ est diagonalisable.

2) Soit $M = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A & 0 \end{pmatrix}$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers