Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $\displaystyle\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}$.

$1)$ Déterminer le domaine de définition de $\zeta$

$2)$ Continuité de $\zeta$ sur son domaine ?

$3)$ Montrer que pour tout $x>1$ on a

$\displaystyle\int_{x}^{+\infty} (\zeta(t) - 1) \textrm{d}t = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\ln(n)n^x}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers