Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $\displaystyle I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin^2(nx)}{\sin^2(x)}{\rm{d}}x$.

$1)$ Montrer que $I_n$ est bien définie.

$2)$ Montrer que $I_n \underset{n\to+\infty}{\sim}\displaystyle n\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\sin^2(x)}{x}{\rm{d}}x$.

Indication de l'exercice : on pourra utiliser pour tout $x\in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ que $\sin(x) \ge \dfrac{x}{2} $. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers