Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Soit $E$ un ensemble fini, avec $|E| = n \geqslant 1$. 

On dit que $g \in E^E$ involution si et seulement si $g \circ g = \mathrm{Id}_E$. Soit
$\alpha_n $ le nombre d'involutions de  $E$.

Calculer $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.

 Montrer que pour $n \geqslant 3$ :
\[
\alpha_n = \alpha_{n-1} + (n-1)\alpha_{n-2}, \quad \alpha_0 = 1
\]

Soit $f : x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\alpha_n}{n!} x^n$. Montrer que le rayon de convergence est non nul et dériver une fois pour trouver une équation différentielle vérifiée par $f$.

Trouver le rayon de convergence de $\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{\alpha_n}{n!} z^n$ et une expression de $\alpha_n$.

Exercice 2

Soit $E$ un espace euclidien et on pose  $\forall x\in E,\;f(x) = \dfrac{x}{\max(\|x\|, 1)}$ 

Montrer que $f$ est $1$-lipschitzienne.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers