Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) Rappeler la formule du produit matriciel.

2) Soit $(E_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Calculer : $\operatorname{tr}(ME_{i,j})$, pour $i,j$ dans $[\![1,n]\!]$.

3) Soient $A,B\in S_n(\mathbb{R})$ dont les valeurs propres sont notées respectivement $\left(a_{k}, 1 \leq k \leq n\right)$ et $\left(b_{k}, 1 \leq k \leq n\right)$, répétées suivant leur multiplicité.

a) Montrer que si les matrices $A$ et $B$ commutent alors il existe $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ telle que :
\[ \det(A+B) = \prod_{k=1}^{n}{(a_{k} + b_{\sigma(k)})} \]

b) Pour tout $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, on considère la partie $\mathcal{O}_{n}(M)$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ définie par
\[ \mathcal{O}_{n}(M) = \{U M U^{-1} ; U \in \mathcal{O}_{n}\} \]
Montrer qu'il existe $B_{0} \in \mathcal{O}_{n}(B)$ telle que :
\[ \det(A + B_{0}) = \sup_{C\in\mathcal{O}_{n}(B)}\det(A+C) \]

4) On suppose que $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ n'est pas inversible.
Construire une matrice $N_{0}$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telle que pour tout $s > 0$ on ait $\det(M + s N_{0}) > 0$.

Montrer que l'on peut choisir $N_{0}$ à coefficients réels diagonalisable (respectivement symétrique) si $M$ est diagonalisable (respectivement symétrique).

Les trois questions suivantes ont été oubliées par l'étudiant. En reprenant le sujet Mines MP 2005, deuxième épreuve, voici une reconstitution possible.

5) On suppose que $A+B_0$ est inversible dans la suite de l'exercice. Pour $T \in \mathcal{A}_{n}$ et pour tout réel $s$, on définit $\psi_{T}(s)$ par
\[ \psi_{T}(s) = \det\left(A + e^{sT} B_{0} e^{-sT}\right) \]
Montrer que pour tout $s$ réel, on a $\psi_{T}(s) \leq \psi_{T}(0)$.

6) Montrer que $B_0$ commute avec $(A+B_0)^{-1}$ et $A$.

7) En déduire :
\[ \det(A+B) \leq \max_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}}\prod_{k=1}^{n}{(a_{k} + b_{\sigma(k)})} \]

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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