Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) Soit $A$ un anneau et $(a,b) \in A^2$. Rappeler et démontrer la factorisation de $a^n - b^n$, pour $n \in \mathbb{N}$.

2) Soit $N$ une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $\forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \; N(AB) \le N(A)N(B)$.

Si $N(A) < 1$, montrer que $\sum_{k \ge 0} A^k$ converge et que $I_n - A$ est inversible.

3) Soit $d \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'il existe $r > 0$ tel que $\theta \mapsto (re^{i\theta})^d (re^{i\theta}I_n - A)^{-1}$ soit définie et continue sur $\mathbb{R}$.

4) Oublié par l'étudiant, peut-être : Démontrer le théorème de Cayley-Hamilton.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers