Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) Soient $E, F$ deux ensembles, $f: E \to F$.

a) Définir $f(A)$ et $f^{-1}(B)$ avec $A \subset E$ et $B \subset F$.

b) Donner une condition nécessaire et suffisante (CNS) sur $f$ pour que pour toutes parties $A_1, A_2$ de $E$ :
\[ f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \]

2) Soit $f: x \mapsto x - \dfrac{1}{x}$, pour $x \in \mathbb{R}^*$.

On définit $f_n = f \circ \dots \circ f$ ($n$ fois).

Soit $D = \{x \in \mathbb{R} \mid f_n(x) \text{ est définie pour tout } n \in \mathbb{N}^*\mathbb{}\}$.

Montrer que $\mathbb{R} \setminus D$ est dénombrable.

3) Soit $S = \mathbb{Q} \setminus \{-1, 0, 1\}$. Montrer que $\displaystyle\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} f_n(S) = \emptyset$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers