Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) Montrer que l'ensemble des nombres décimaux est dense dans $\mathbb{R}$.

Pour $b \ge 2$, on note $D_b = \left\{ (u_m)_{m \in \mathbb{Z}} \mid \forall m \in \mathbb{Z}, \, u_m \in [\![ 0, b-1 ]\!] \text{ et } \{m \le 0 \mid u_m \neq 0\} \text{ est fini} \right\}$.

2)
a) Montrer que $f : D_b \to \mathbb{R}$ définie par $\sum_{m \in \mathbb{Z}} \frac{u_m}{b^m}$ est bien définie.

b) $f$ est-elle injective ?

c) Montrer que $f$ est surjective.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers