Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Soit $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornées sur $\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$.

Soit $T \in \mathcal{L}(\mathbb{B})$ tel que $\forall U \in \mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$,
\[
T(U) = T\big((u_n)_{n \in \mathbb{Z}}\big) = (u_{n+1})_{n \in \mathbb{Z}}
\]

1) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $T$.

2) Soit $S$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $\mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$ stable par $T$ (c'est-à-dire $T(S) \subset S$). On note $\widetilde{T}$ l'endomorphisme induit sur $S$.

Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(\widetilde{T})$. Montrer que la suite $\big(\ker(\widetilde{T} - \lambda \,\mathrm{Id})^n\big)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est stationnaire pour $n \ge 1$, c'est-à-dire :
\[
\forall n \ge 1, \quad \ker\big((\widetilde{T} - \lambda \,\mathrm{Id})^n\big) = \ker(\widetilde{T} - \lambda \,\mathrm{Id})
\]

3) En déduire l'existence de $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ deux à deux distincts tels que :
\[
S = \bigoplus_{i=1}^{r} \ker(\widetilde{T} - \lambda_i \,\mathrm{Id})
\]

Exercice 2

Soit $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ continue telle que $f^2$ soit intégrable sur $\mathbb{R}_+$.

On pose :
\[
g : x \longmapsto \frac{1}{x} \int_0^x f \quad \text{sur } \mathbb{R}_+^*
\]

1) Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0.

2) On pose :
\[
F : x \longmapsto \int_0^x f \quad \text{sur } \mathbb{R}_+
\]
Montrer que pour tous $0 < u < v$, on a :
\[
\int_u^v g^2 \le \frac{F(u)}{u} + 2 \sqrt{\int_u^v f^2(t)\,\mathrm{d}t} \sqrt{\int_u^v g^2(t)\,\mathrm{d}t}
\]

3) En déduire que $g^2$ est intégrable et que :
\[
\int_0^{+\infty} g^2 \le 4 \int_0^{+\infty} f^2
\]

4) La constante 4 est-elle optimale ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers