Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Soient $f, g$ continues sur $\mathbb{R}_+$ et $g \ge 0$.
On a : 
\[ \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad f(x) \le A + \int_0^x f(t)g(t) \, \mathrm{d}t \]

1) Montrer que :
\[ \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad f(x) \le A \exp\left( \int_0^x g(t) \, \mathrm{d}t \right) \]

Soit $y$ solution de $y'' + (1 + p(x))y = 0$ avec $p \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+)$, $p'$ intégrable sur $\mathbb{R}_+$ et $\lim_{x \to +\infty} p(x) = 0$.

a) Montrer qu'il existe $x_0 \ge 0$ et un réel $a$ tel que pour tout $x \ge x_0$,
\[ y^2(x) \le a + 2 \int_0^x |p'(t)| y^2(t) \, \mathrm{d}t \]

b) Montrer que $y$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.

Exercice 2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

1) Si $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A^2)$, montrer que $\mathbb{R}^n = \mathrm{Im}(A) \oplus \mathrm{Ker}(A)$.

2) Montrer l'équivalence entre :
- (i) $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A^2)$
- (ii) $a(A + aI_n)^{-1}$ admet une limite quand $a$ tend vers $0$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers