Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice CCINP

Soit $a\in\mathbb{R}$ et $
M=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & a\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & a
\end{pmatrix}
\in M_3(\mathbb{R}).
$

1) Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $M$ est-elle inversible ?

2) Donner les valeurs de $a$ pour lesquelles $M$ est diagonalisable et, pour toutes ces valeurs, diagonaliser $M$ (en s'attardant à également donner la matrice de passage utilisée).

3) Dans le cas $a=1$, montrer que $M$ est semblable à la matrice $
T=
\begin{pmatrix}
1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}.
$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 2), on attendait également à ce que l'on donne la mtrice de passage utilisée.

Commentaires divers

Cet exercice était également accompagné de l'exercice 102 de la banque.