Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

Soit $\alpha>1$.

On définit, pour tout $n\in\mathbb{N}$,

$$
v_n=\sum_{q = n}^{+\infty}\frac{1}{q^\alpha}.
$$

1) Montrer que $v_n$ existe et en donner un équivalent.

2) On définit, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $x_{n}=\frac{v_n^2}{n}.$

Démontrer que $\sum x_n$ converge.

Exercice 2 :

On considère trois joueurs jouant au ballon.

Lorsque le joueur $A$ a la balle, il a une probabilité de $\dfrac13$ de la donner au joueur $B$ et de $\dfrac23$ de la donner au joueur $C$.

Lorsque le joueur $B$ a la balle, il a une probabilité de $\dfrac13$ de la donner au joueur $A$ et de $\dfrac23$ de la donner au joueur $C$.

Lorsque le joueur $C$ a la balle, il a une probabilité de $\dfrac13$ de la donner au joueur $A$ et de $\dfrac23$ de la donner au joueur $B$.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $X_n$ le vecteur de coordonnées$ P(A_n),\;P(B_n),\;P(C_n),$ où $P(A_n)$ est la probabilité que le joueur $A$ ait le ballon au $n$-ième lancer, et de même pour $P(B_n)$ et $P(C_n)$ concernant respectivement les joueurs $B$ et $C$.

1) Déterminer la matrice $M$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}, \space X_{n+1}=MX_n$.

2) Montrer que $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ converge.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercie 1, 1) : Même méthode que pour la démonstration du critère de convergence des séries de Riemann

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