Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n \ge 1$.

Soit $U$ un endomorphisme symétrique de $E$.

1. Justifier l'existence d'un vecteur $X_0 \in E$ de norme $1$ tel que, pour tout vecteur $X \in E$ de norme $1$, on ait :

   $$\langle U(X), X \rangle \ge \langle U(X_0), X_0 \rangle$$

2. Soit $Y_0$ un vecteur de norme $1$ tel que $Y_0 \perp X_0$. Pour tout réel $t$, on pose $\gamma(t) = \sin(t) Y_0 + \cos(t) X_0$ et on définit la fonction $\phi(t) = \langle U(\gamma(t)), \gamma(t) \rangle$.

   a) Calculer $\vert{}\vert{}\gamma(t)\vert{}\vert{}$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.

   b) Montrer que la fonction $\phi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.

   c) En utilisant la question 1, que peut-on dire de $\phi'(0)$ ? Calculer $\phi'(t)$ et en déduire que $\langle U(X_0), Y_0 \rangle = 0$.

3. À l'aide de la question précédente, montrer que $X_0$ est un vecteur propre de $U$.

4. On note $F = (\text{Vect}(X_0))^\perp$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $U$.

5. En déduire le théorème spectral.