Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Pour toute matrice $M \in M_n (\R)$ on note, pour tout $(i,j) \in [\![ 1, n ]\!]^2, \ [M]_{i,j}$​ le coefficient de $M$ à la $i$-ème ligne et à la j-ème colonne.

On note également, pour toute $M \in M_n (\R)$$$,\; \$\backslash rho\; =\; \backslash max\backslash \{\backslash ,\; |\; \backslash lambda\; |,\; \backslash \; \backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathrm\{Sp\}(M)\backslash ,\; \backslash \}\$$$

Soit $B \in M_n(\R)$ à coefficients positifs, et soit $s > \rho (B)$.

On note $A = sI_n  -  B$.

On admet le théorème suivant, nommé théorème de Gelfand :

$\lim_{k\to + \infty} \left(\|B^k \|\right)^{1/k} = \rho(B)$.

1) a) Rappeler le théorème des bornes atteintes.

b) Montrer que pour tout $i \in [\![1,n]\!]$ et pour tout $k \in \N$, $[B^k]_{i,i} \le ([B]_{i,i})^k$

2) Montrer que $A$ est à coefficients strictement négatifs.

Cette question était sûrement suivie d'une suite.

Il y avait encore deux questions supplémentaires.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers