Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Notons, pour tout $ P, Q $ polynômes à coefficients réels, et pour tout $r \in \R_+ ^*$​,

$ I(r) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \mathrm{\dfrac{P(e^{i \theta})}{Q(e^{i \theta})} \, \mathrm{d}\theta }.$

1.a) On suppose dans les questions suivantes que

$P=1 $ et $ Q=X−a $ avec $ a \in \R ^* $.

Tracer $ I(r) $ pour quelques valeurs de $ a $.

On rappelle que la fonction scipy.integrate.quad du module scipy.integrate de Python ne calcule les intégrales de fonctions à valeurs réelles.

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b) Tracer la partie imaginaire de $I(r)$ pour $a = 1, \space a = 2, \space a = 5, \space a = 0.5 $.

Que remarquez-vous ?

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c) Tracer $I(r)$ en fonction de $a$ (pour un $r$ fixé , j'imagine, mais je ne sais plus lequel).

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d) Faire de même avec $P = X - ?$ $$,$$et $Q = X^2 + ?$

Indication : que dire des racines de $Q$ ?

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2. Montrer que, pour tout $r\in\R_+^*$​, $I(r)$ est bien définie et est un réel.

Indication : montrer que $I(r)$ est égal à son conjugué.

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3. On suppose maintenant que $Q=1$. Calculer $I(r)$ pour tout $r\in\R_+^*.$

Il y avait d'autres questions, trois en plus il me semble.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

 

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