Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On considère une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N} }$ de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telles que : $\forall n \in \mathbb{N}, \mathbb{P}(X_n = 0) = \mathbb{P}(X_n = 1) = \dfrac{1}{2}$.

On se donne une suite de réels $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on pose pour $\displaystyle N \in \mathbb{N}, Y_N = \sum_{n = 0}^{N} 2a_nX_n $.

1) Dans cette question on suppose que : $\forall n \in \mathbb{N}, a_n = \dfrac{1}{n + 1}$.

a)  Avec Python calculer $\dfrac{\mathbb{E}(Y_n^4)}{\mathbb{E}(Y_n^2)^2}$ pour $n\in\mathbb{N}$. On pourra s'aider de la loi des grands nombres en réalisant 500 simulations.

b) Tracer $k\mapsto\left(k, \dfrac{\mathbb{E}(Y_k^4)}{\mathbb{E}(Y_k^2)^2}\right)$ pour $k$ dans [|0 ; 50|]. Réaliser une conjecture. 

2) Pour $N \in \mathbb{N}$, montrer que $\displaystyle\mathbb{E}(Y_N^2) = \sum_{n=0}^N a_n^2 + \left(\sum_{n=0}^N a_n\right)^2$.

3) Soit Z une variable aléatoire positive.

a) Montrer que $\mathbb{E}(Z) \le \sqrt{\mathbb{E}(Z^2)} \le \mathbb{E}(Z^4)^{1/4}$

b) Montrer que $\mathbb{E}(Z^6) \le \sqrt{\mathbb{E}(Z^2)\mathbb{E}(Z^4)}$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la 3)b), l'examinateur m'a redemander la définition de l'espérance puis m'a demander si je connaissais une inégalité sur la somme de produits, dans le but de m'aiguiller vers Cauchy-Schwarz.

Commentaires divers

L'exercice comportait 7 questions, il s'agissait de montrer des inégalités de concentration. La dernière question demandait de démontrer la conjecture de la question 1.