Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : On pose $F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin(xt)}{e^t - 1} \, \rm{d}\hspace{-1pt}t$.

1. Donner le domaine de définition de $F$

2. Donner le domaine de continuité de $F$

3. Sur quel domaine $F$ est-elle $C^\infty$ ?

4. Montrer pour tout $x > 0$ que $\displaystyle F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x}{n^2 + x^2}$

Exercice 2 : Soit $U$ une partie de $M_n(\mathbb{C})$ non vide, finie et stable par le produit. Montrer qu'il existe $A \in U$ tel que $\mathrm{Tr}(A) \in [0, n] $.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

exo 1: aucune, si ce n'est pour la dernière question des questions pour tester le cours

exo 2 : aucune

Commentaires divers