Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

EXO 1

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \frac{1 - \cos t}{t^2} dt$$

1. Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}_+$.

2. Montrer que $f$ est de classe $C^0$ sur $\mathbb{R}_+$.

3. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$.

4. Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f'(x)$.

5. Montrer que $f''(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$.

* Déterminer $f$.

6. Soit $I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$. Exprimer $I$ en fonction de $f(0)$.

* Donner la valeur de $I$.

EXO 2

Dans $M_n(\mathbb{R})$, pour tout couple $(A,B) \in S_n(\mathbb{R})^2$, montrer que :

$$(tr(AB))^2 \le tr(A^2) \times tr(B^2)$$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour le deuxième exercice, rappeler le produit scalaire cannonique dans $M_n(\mathbb{R})$,

Commentaires divers

Examinateur rassurant