Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Exercice 79 de la banque.

$\ex 2$

Soit $r\in{]-1,1[}$. Pour $x\in \R$, on pose $\quad \displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cos (nx)$.

1. Montrer que la série converge normalement sur $\R$.
2. Calculer sa somme.
3. Pour tout $x\in\R$, montrer que $$\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos x} = 1+2  \sum_{n=1}^{+\infty} r^n\cos (nx)$$
4. Pour tout $(k,n)\in\N^2$, calculer $\int_0^{2\pi} \cos (kx)\cos (nx)\, dx$.
5. Question oubliée.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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