Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : (Préparation 15 min)

On note $f:x \to \int_0^{2\pi} \ln(x^2 -2x\cos(t)+1) \, \,dt$

1) Déterminer le domaine de définition de $f$ et étudier sa continuité.

2) Déterminer une expression de $f(x)$ sans intégrale.

Exercice 2 : 

Soit $a \in ]0,1[$, $ b > 0$. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$ vérifiant :

$\forall (i,j) \in \N^2$, $P(X=i,Y=j)= e^{-b} \frac{a^j b^i (1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!} \mathbb{1}_{(i \geq j)} $

1) Determiner les lois de $X$ et $Y$

2) $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

3) Donner la loi de $Z=X-Y$

4)