Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Oral Centrale Maths-Info

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $k \in \{0, \dots, n\}$, on pose :
$$\sigma_k(n) = \frac{1}{2n+1} \binom{2n+1}{2k+1}$$

1. Trouver un polynôme $S_k(X)$ à coefficients rationnels tel que, pour tout entier $n \ge k$ :
$$S_k(n) = \sigma_k(n)$$

2.Écrire une fonction Python `calcul_S(p)` qui renvoie la liste des $p$ premiers polynômes $S_k$.

3. Pour un entier $p \in \mathbb{N}^*$, on cherche à calculer une valeur approchée de la somme de la série :
$$\Sigma_p = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(k\pi)^{2p}}$$

a. Écrire une fonction Python `valeur_approchee(p, N=10000)` qui calcule la somme partielle de cette série jusqu'à $k = N$.
b. On note $Q_p(X)$ un polynôme lié aux relations de la question précédente (que j'ai oublié). Écrire un script Python qui compare, pour $p$ variant de $1$ à $10$, la valeur approchée de $\Sigma_p$ avec le coefficient dominant (ou un rapport de coefficients spécifiques) de $Q_p$.
c. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la valeur exacte de $\Sigma_p$ ?

4. Soit $n \in \mathbb{N}$.
Soit $P(X)$ le polynôme défini par :
$$P(X) = (2n+1)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \sigma_k(n) X^{n-k}$$

Soit $\theta \in \left]0;\frac{\pi}{2}\right[$. Montrer que :
$$P(\cot^2(\theta)) = \text{Im}\left((\cot(\theta) + i)^{2n+1}\right) = \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin^{2n+1}(\theta)}.$$

Il restait 3 autres questions.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Examinateur neutre qui voulait le nom de toutes les formules que j'utilisais (binôme de Newton, formule de Moivre, etc).